Propulsion de cohetes

Principios de la propulsion

Los cohetes del motor, tanto si forman parte de un propulsor masivo o de un dispositivo de baja propulsión usado para el ajuste de la estabilidad de la órbita del satélite, operan bajo el principio de que la masa es acelerada y expulsada, creando así una fuerza de reacción de acuerdo con la tercera ley de Newton. El cohete es por lo tanto un recipiente de materia y energía. La materia, que originalmente descansa en el recipiente, se transforma en un gas liberando energía cinética. Este gas escapa a través de la tobera a gran velocidad mientras que el resto de materia no gaseosa del cohete sufre un cambio de momento, resultando una fuerza de reacción.

Empuje del cohete

Una ecuación para la propulsión del cohete puede ser obtenida a partir de un sistema de dos elementos: un cohete de masa m y un gas de masa dm que abandona el cohete a través de la tobera. El momento neto de estos dos elementos combinados puede ser expresado por la siguiente ecuación:

Donde N es el momento neto, v la velocidad del cohete y v_ees la velocidad relativa del gas que abandona la tobera.

La reducción dinámica en la masa del cohete correspondiente al incremento proporcional del gas puede expresarse como

Asumiendo que la velocidad de escape v_e es constante, la aceleración de los gases a través de la tobera es cero; así

El momento neto puede ser derivado con respecto al tiempo y el resultado igualado a cero. Y considerando que dm es muy pequeña y en el límite tiende a cero, y aplicando las dos ecuaciones anteriores, obtenemos:

La primera parte de la ecuación anterior puede ser considerada como una fuerza de reacción F que actúa sobre el cohete, por lo que la ecuación la podemos reescribir como:

El signo negativo refleja el hecho de que la corriente de gas es interpretada como un número positivo y la velocidad de escape y la fuerza de reacción actúan en direcciones opuestas.

Las presiones que actúan en las paredes internas y externas en el motor del cohete, liberando energía cinética mediante la transformación de la materia en gases de escape, se muestran en la figura siguiente:

La suma de estas fuerzas produce el empuje que impulsa al cohete. Este empuje puede ser expresado por la siguiente ecuación:

donde p es la presión que actúa en las paredes del cohete, ds es un diferencial de superficie del cohete y s es el área total de la superficie del motor del cohete; p_i es la presión que se ejerce sobre la superficie interna de las paredes del motor del cohete y p_o es la presión sobre la superficie externa.

Aplicando el teorema del momento a la combustión del gas contenido dentro de las paredes internas del cohete, la integral puede ser evaluada. En particular, identificando la velocidad de cambio del eje con la fuerza que actúan sobre el gas que contenido dentro de las paredes del cohete y asumiendo que las fuerzas de presión son simétricas, obtenemos:

donde A_e es el área del plano de salida de la tobera, m es la velocidad de salida de la masa del gas de escape, v_ea es la componente axial media de la velocidad de escape relativa del cohete.

Así mv_ea representa el flujo axial de momento a través del plano de salida. La velocidad de escape v_e normalmente consiste en dos componentes ortogonales, la velocidad en la dirección del eje del cohete, v_ea, y la componente ortogonal en la dirección perpendicular al eje del cohete, v_ep. Por simplicidad se asume que v_ep=0 y así

v_e=v_ea. Quedará la ecuación anterior:

La integral de las presiones que actúan sobre las paredes externas del cohete pueden ser evaluadas considerando la fuerza resultante debida a la presión atmosférica p₀ y al hecho de que la suma de estas fuerzas es cero sobre la superficie externa del resto del contenedor.

Asumiendo que las presiones tienen simetría axial. Sustituyendo las integrales de las presiones internas y externas en la expresión de la fuerza de presión total, obtendremos una expresión para el cálculo del impulso del cohete:

Teniendo en cuenta que v_e y p_e están promediadas sobre la superficie de salida de la tobera.

El primer término de la derecha representa el incremento de momento neto en los gases acelerados y expulsados a través de la tobera y es llamado el momento de empuje. El segundo término es la resultante de las presiones que actúan sobre la superficie de salida de la tobera A_e y es llamado la presión de empuje. Por lo tanto, mediante estos conceptos podemos expresar el empuje total como:

Empuje total = Momento de empuje + Presión de empuje

Velocidad de escape

Se puede demostrar que el empuje F es máximo cuando la presión de empuje es cero, o p_e=p_o. La geometría de la tobera determina el valor de p_e-p_o y por lo tanto el valor de la presión de empuje. Los motores del cohete usan toberas que inicialmente disminuyen su área para luego aumentarla. Una tobera ha de acabar correctamente expandida cuando su geometría es tal que p_e=p_o. La velocidad de escape en el plano de salida de la tobera, v_e, se puede calcular de forma aproximada usando la siguiente relación:

donde k es una constante, A_e es el área del plano de salida, A_t es el área del plano de empuje, T_c es la temperatura de la cámara de combustión, MW es el peso molecular de los gases de escape y f() es una función.

Los parámetros principales en la propulsión del cohete se muestran en la siguiente figura:

El rendimiento de un cohete es altamente dependiente de la velocidad de escape v_e. Para obtener un rendimiento alto se debe conseguir una velocidad de escape elevada. La velocidad de escape es uno de los mayores indicadores de rendimiento de propelente. El alto rendimiento relativo de los sistemas bipropelentes de oxígeno líquido e hidrógeno líquido se consigue gracias a la alta velocidad de escape que esta combinación produce, debido al bajo peso molecular de los gases de escape.

Para todos los motores de cohete actualmente operacionales, el momento de empuje es mucho mayor que la presión de empuje, por lo que la ecuación del empuje se puede reducir a:

y por lo tanto

Impulso especifico

El rendimiento del motor de un cohete se puede expresar también por medio de una cantidad llamada el impulso específico I_sp. Mide la cantidad de empuje producida por unidad de masa de propelente que se escapa.

donde g_o es la aceleración de referencia debida a la gravedad.

Alternativamente I_sp muestra la cantidad de tiempo durante el cual el propelente puede entregar un empuje igual al peso inicial de propelente:

La dimensión de I_sp es tiempo, medido en segundos.

I_sp puede expresarse mediante la velocidad de escape como

Ecuacion del cohete

Si ignoramos los efectos de la gravedad durante el encendido del cohete, el empuje es usado solo para acelerar el cohete, y así

donde . El signo negativo muestra que la expulsión de propelente, que produce una disminución en la masa del cohete, produce una aceleración positiva. Reordenando la ecuación anterior:

donde v_i es la velocidad inicial del cohete, v_f la velocidad final, m_i la masa inicial del cohete y m_f la masa final.

Integrando los téminos de la ecuación anterior desde sus valores iniciales hasta sus valores finales, obtenemos la ecuación del cohete:

donde DV es el incremento vectorial de velocidad. El término m_i/m_f se llama la relación de masa. Sustituyendo la ecuación del impulso específico en función de la v_e, la ecuación del cohete se puede expresar en función de I_sp como:

La ecuación del cohete también se puede expresar en función del incremento de velocidad que la combustión produce:

La ecuación del cohete proporciona la relación de la masa final del cohete con la inicial como una función del incremento de velocidad que resulta del encendido del cohete, función de la velocidad de escape o el impulso específico. También muestra que, incrementando el impulso específico, la relación de masa del cohete disminuye para un DV fijo, y así se consume menos propelente.

Equilibrio entre masa del satelite y el impulso especifico

El impacto de las diferencias de impulso específico en la carga efectiva se pueden apreciar claramente cuando se considera la elección de un sistema de empuje para el mantenimiento de la órbita y la estabilidad durante el tiempo que está operativo. En general, la asignación de DV es fija para cada satélite GSO. Por ejemplo, la asignación de DV para el Intelsat IV y IVA fue 432 m/s. La mayor parte de los cuales, 358.4 m/s, fueron requeridos para el mantenimiento de la estación Norte-Sur. Consecuentemente el único parámetro que podría ser incrementado para reducir la relación de masa era el I_sp. El efecto en la relación de masa que se podría obtener usando un sistema de empuje para varios valores de I_sp y una carga de esta magnitud se muestra en la siguiente tabla:

mi/mf	Isp (seg)	Tipo de motor
1.02	3000	Propulsión eléctrica
1.14	300	Hydrazine, aumentado eléctricamente
1.18	220	Hydrazine
1.33	150	Peróxido de hidrógeno